viernes, 28 de agosto de 2009

La Probabilidad de la Inducción


Aparecido en. C. S. PEIRCE EN ESPAÑOL (2008). http://www.unav.es/gep/Peirce-esp.html

Fin de "La probabilidad de la inducción", C. S. Peirce (1878). Traducción castellana de Carmen Ruiz. "The Probability of Induction" corresponde a W 3. 290-305.

Fecha del documento: 21 junio 2001
Ultima actualización: 9 agosto 2006


LA PROBABILIDAD DE LA INDUCCIÓN

Charles S. Peirce (1878)

Traducción castellana de Carmen Ruiz (2001)*

P 121: Popular Science Monthly 12 (Abril 1878): 705-18. [Publicado también en W 3: 290-305 y en CP 2.669-93]. En este artículo, Peirce continúa desarrollando su teoría de la probabilidad y da reglas para calcular la probabilidad de múltiples eventos. Compara la visión conceptualista (que refiere las probabilidades a eventos) con la visión materialista (que hace de la probabilidad la razón de la frecuencia de los casos favorables entre todos los casos) y diferencia posibilidad** de probabilidad. Argumenta a favor de la noción de frecuencia (que sostuvo hasta casi el cambio de siglo) y después conecta sus ideas sobre la probabilidad con la naturaleza del razonamiento inductivo (o sintético) y el problema de la inducción, para el que considera necesario apelar a mundos posibles.


I

Hemos encontrado que todo argumento deriva su fuerza de la verdad general de la clase de inferencias a que pertenece; y que la probabilidad es la proporción de los argumentos que conllevan verdad entre los de un género determinado. Esto se expresa muy oportunamente en la nomenclatura de los lógicos medievales. Ellos llamaban antecedente al hecho expresado por una premisa, y a lo que sigue de ella su consecuente; mientras que al principio rector, de que todo (o casi todo) antecedente es seguido por un consecuente, lo denominaban consecuencia. Empleando este lenguaje, podemos decir que la probabilidad pertenece exclusivamente a las consecuencias, y que la probabilidad de cualquier consecuencia es el número de veces en que se dan juntos el antecedente y el consecuente dividido entre el número total de veces en que el antecedente se da. De esta definición se deducen las siguientes reglas para la adición y la multiplicación de probabilidades:

Regla para la adición de probabilidades. Dadas las probabilidades separadas de dos consecuencias que tengan el mismo antecedente y consecuentes incompatibles. Entonces la suma de estos dos números es la probabilidad de la consecuencia, merced a la que, del mismo antecedente se sigue uno u otro de los consecuentes.

Regla para la multiplicación de probabilidades. Dadas las probabilidades separadas de dos consecuencias, "Si A entonces B", y "Si tanto A como B, entonces C". Entonces el producto de estos dos números es la probabilidad de la consecuencia, "Si A, entonces B y C".

Regla especial para la multiplicación de probabilidades independientes. Dadas las probabilidades separadas de dos consecuencias que tienen los mismos antecedentes, "Si A, entonces B", y "Si A, entonces C". Supongamos que estas consecuencias son tales que la probabilidad de la segunda es igual a la probabilidad de la consecuencia, "Si tanto A como B, entonces C". Entonces el producto de los dos números dados es igual a la probabilidad de la consecuencia, "Si A, entonces tanto B como C".

Para mostrar el funcionamiento de estas reglas podemos examinar las probabilidades referentes al lanzamiento de dados. ¿Qué probabilidad hay de sacar un seis con un dado? El antecedente aquí es el evento de lanzar un dado; el consecuente, que salga un seis. Como el dado tiene seis caras, que salen todas con igual frecuencia, la probabilidad de que salga una cualquiera de ellas es 1/6. Supongamos que se tiren dos dados, ¿qué probabilidad hay de obtener seises? La probabilidad de que en cualquiera de los dos salga un seis es obviamente la misma cuando se lanzan ambos que cuando se lanza uno solo, a saber, 1/6. La probabilidad de que en uno cualquiera de ellos aparezca un seis a la vez que en el otro es también la misma que la de que salga un seis, ya se obtenga tal resultado en el otro o no. Las probabilidades son, por tanto, independientes; y, según nuestra regla, la probabilidad de que ambos eventos sucedan juntos es el producto de sus respectivas probabilidades, o 1/6 x 1/6. ¿Qué probabilidad hay de sacar dos ases? La probabilidad de que en el primer dado salga un as y en el segundo un dos es la misma que la de que en ambos aparezcan seises -a saber, 1/36; la probabilidad de que en el segundo salga un as y en el primero un dos es asimismo 1/36; estos dos eventos -primero, as; segundo, dos, y segundo as; primero dos-son incompatibles. Por tanto, la regla para la adición se mantiene, y la probabilidad de que en uno salga uno y en el otro igual es 1/36 + 1/36, o 1/18.

De esta manera, pueden resolverse todos los problemas de dados, etc. Cuando se supone un número de dados tirados muy grande, las matemáticas (que pueden ser definidas como el arte de formar grupos para facilitar la numeración) acude en nuestra ayuda con ciertos mecanismos para reducir las dificultades.

II

La concepción de probabilidad como una cuestión de hecho, esto es, como la proporción de veces en que un suceso de cierto clase está acompañado de un suceso de otra clase, es calificada por el Sr. Venn de visión materialista del asunto1. Pero se ha considerado a menudo que la probabilidad es simplemente el grado de creencia que se debe asignar a una proposición; y este modo de explicar la idea Venn lo denomina visión conceptualista. La mayoría de los escritores ha mezclado las dos concepciones. Primero, definen la probabilidad de un evento como la razón que tenemos para creer que ha ocurrido, lo cual es conceptualista; pero inmediatamente después declaran que es la ratio del número de casos favorables al evento entre el total número de casos favorables o contrarios, y todos los igualmente posibles. Esta es una enunciación tolerable de la visión materialista, con la salvedad de que esto introduce la idea nada clara de casos igualmente posibles en lugar de casos igualmente frecuentes. La teoría puramente conceptualista ha sido muy bien expuesta por el Sr. De Morgan en su Lógica formal: o el cálculo de la inferencia, necesaria y probable.

La gran diferencia entre los dos análisis estriba en que los conceptualistas refieren la probabilidad a un evento, mientras que los materialistas la convierten en la relación de frecuencia de los eventos de una especie con los de un género por encima de esa especie, dotándola así de dos términos en lugar de uno. La oposición hacerse manifiesta como sigue:

Supongamos que tenemos dos reglas de inferencia, tales que, de todas las preguntas a cuya solución pueden aplicarse ambas, la primera proporciona un 81/100 de respuestas correctas, y el 19/100 restante de respuestas incorrectas; mientras que la segunda ofrece respuestas correctas en un 93/100, y respuestas incorrectas en el restante 7/100. Supongamos, además, que las dos reglas son enteramente independientes en cuanto su verdad, de tal manera que la segunda responde correctamente al 93/100 de las preguntas que la primera responde correctamente, y también 93/100 de las preguntas que la primera responde incorrectamente, y responde incorrectamente el restante 7/100 de las cuestiones que la primera responde correctamente, y también el restante 7/100 de las cuestiones que la primera responde incorrectamente. Entonces, de todas las preguntas a cuya solución pueden aplicarse ambas reglas:

Las dos responden correctamente

93/100 de 81/100, o 93x81/100x100

La segunda responde correctamente y la primera incorrectamente

93/100 de 19/100, o 93x19/100x100

La segunda responde incorrectamente y la primera correctamente

7/100 de 81/100, o 7x81/100x100

Y ambas responden correctamente

7/100 de 19/100, o 7x19/100x100



Supongamos, ahora, que, con referencia a cualquier pregunta, las dos dan la misma respuesta. Entonces (siendo siempre las preguntas de las que se contestan con un o un no), aquellas con referencia a las cuales coinciden sus respuestas son las mismas que aquellas que ambas responden correctamente junto con aquellas que ambas responden falsamente, es decir, 93x81 / 100x100 + 7x19 / 100x100 del total. La proporción de aquellas que ambas responden correctamente entre aquellas en que sus respuestas coinciden es, por tanto,

( 93x81 / 100x100) / ( 98x81 / 100x100 + 7x19 / 100x100 ) ó (93x81) / [ (93x81) + (7x19) ].

Esta es, por tanto, la probabilidad de que, si ambos modos de inferencia ofrecen el mismo resultado, ese resultado es correcto. Podemos utilizar aquí convenientemente otro modo de expresión. La probabilidad es la ratio de los casos favorables entre todos los casos. En lugar de expresar nuestro resultado en términos de esta ratio, cabe hacer uso de otra: la ratio de los casos favorables entre los desfavorables. Esta última ratio puede ser llamada la posibilidad de un evento. Así pues, la posibilidad de una respuesta verdadera según el primer modo de inferencia es 81/19 y de acuerdo con el segundo es 93/7; y la posibilidad de una respuesta correcta según ambos, cuando coinciden, es -(81x93) / (19x7) ó (81/19) x (93/7), o el producto de las posibilidades de que cada uno por separado proporcione una respuesta verdadera.

Se verá que una posibilidad es una cantidad que puede tener cualquier magnitud, por grande que sea. Un evento que tiene a su favor un cincuenta por ciento de posibilidades, o 1/1, tiene una probabilidad de 1/2. Un argumento que tiene un cincuenta por ciento de posibilidades no puede hacer nada por reforzar a otros, ya que, según la regla, su combinación con otro sólo multiplicaría la posibilidad de este último por 1.

La probabilidad y la posibilidad pertenecen sin duda primariamente a las consecuencias, y son relativas a las premisas; pero, podemos hablar, no obstante, de la posibilidad de un evento absolutamente, entendiendo por esto la posibilidad de la combinación de todos los argumentos con referencia a él, que existen para nosotros en el estado dado de nuestro conocimiento. Tomada en este sentido, es incontestable que la posibilidad de un evento tiene una conexión íntima con el grado de nuestra creencia en él. La creencia es ciertamente algo más que un mero sentimiento; sin embargo, hay un sentimiento de creer, y este sentimiento varía y debe variar con la posibilidad de la cosa creída, según se deduce de todos los argumentos. Cualquier cantidad que varía con la posibilidad podría, por tanto, al parecer, servir como un termómetro para la intensidad peculiar de la creencia. Entre tales cantidades hay una que es particularmente apropiada. Cuando hay una posibilidad muy grande, el sentimiento de creencia debería ser muy intenso. La certeza absoluta, o una posibilidad infinita, nunca puede ser alcanzada por los mortales, y esto puede representarse adecuadamente con una creencia infinita. Al disminuir la posibilidad el sentimiento de creencia debería disminuir, hasta que se llegue a un cincuenta por ciento de posibilidades, en donde aquel se desvanecería completamente y no nos inclinaría a favor ni en contra de ha la proposición. Cuando la posibilidad se torna menor, brotaría la creencia contraria y debería aumentar en intensidad conforme disminuya la posibilidad, y al ir ésta casi desvaneciéndose (lo que jamás puede ocurrir totalmente) la creencia contraria tendería hacia una intensidad infinita. Ahora bien, hay una cantidad que, más simplemente que cualquier otra, cumple estas condiciones: es el logaritmo de la posibilidad. Pero hay otra consideración que, si se admite, ha de decantarnos hacia esta elección en nuestro termómetro. Es la de que nuestra creencia debería ser proporcional al peso de la evidencia, en el sentido de que dos argumentos que son enteramente independientes, sin debilitarse ni corroborarse el uno al otro, deberían producir, cuando concurren, una creencia igual a la suma de las intensidades de la creencia que cada uno produciría separadamente. Ahora bien, ya hemos visto que las posibilidades de argumentos independientes que concurren tienen que multiplicarse entre sí para obtener la posibilidad de su combinación, y, por lo tanto, las cantidades que mejor expresen las intensidades de creencia deberían ser aquellas que hayan de sumarse cuando las posibilidades se multipliquen con el fin de producir la cantidad que corresponde a la posibilidad combinada. Ahora bien, el logaritmo es la única cantidad que cumple esta condición. Hay una ley general de la sensibilidad, llamada ley psicofísica de Fechner2, según la cual la intensidad de cualquier sensación es proporcional al logaritmo de la fuerza externa que la produce. En perfecta armonía con ella se halla esta ley de que el sentimiento de creencia ha de ser como el logaritmo de la posibilidad, siendo esta última la expresión del estado de cosas que produce la creencia.

La regla para la combinación de argumentos independientes que concurren adopta una forma muy sencilla cuando se expresa en términos de la intensidad de la creencia, medida de la manera propuesta. Es ésta: tomemos la suma de todos los sentimientos de creencia que se producirían separadamente por todos los argumentos a favor, sustraigamos de ella la suma similar de los argumentos en contra, y lo que queda es el sentimiento de creencia que en general debemos tener. Es este un procedimiento al que los hombres recurren a menudo, bajo el nombre de sopesar las razones.

Estas consideraciones constituyen un argumento a favor de la visión conceptualista. El meollo de ésta radica en que la probabilidad conjunta de todos los argumentos en nuestro poder, con referencia a cualquier hecho, debe estar íntimamente conectada con el grado justo de nuestra creencia en ese hecho; y este punto se complementa con otros varios que muestran la consistencia de la teoría consigo misma y con el resto de nuestro conocimiento.

Pero la probabilidad, para que tenga algún valor, debe expresar un hecho. Es, por tanto, una cosa que se ha de inferir con evidencia. Consideremos, pues, por un momento la formación de una creencia de probabilidad. Supóngase que tenemos una gran bolsa de judías, de la que secretamente se ha sacado una al azar y se ha escondido bajo un dedal. Tenemos que formar ahora un juicio probable sobre el color de esa judía, extrayendo otras de la bolsa, una a una, y mirándolas, para meterlas de nuevo y mezclar bien el conjunto después de cada extracción. Supóngase que la sacada en primer lugar es blanca y la segunda negra. Concluimos que no existe un inmenso predominio de ninguno de los dos colores, y que hay algo así como un cincuenta por ciento de posibilidades de que la judía oculta bajo el dedal sea negra. Pero este juicio puede alterarse por las sucesivas extracciones. Cuando hayamos sacado diez judías, si 4, 5, ó 6 son blancas, tendremos mayor confianza en que la posibilidad es del cincuenta por ciento. Cuando hayamos efectuado mil extracciones, si alrededor de la mitad han sido blancas, tendremos una notable confianza en este resultado. Nos sentiremos entonces bastante convencidos de que, si tuviéramos que hacer un gran número de apuestas sobre el color de judías individuales sacadas de la bolsa, podríamos asegurarnos aproximadamente a la larga apostando cada vez al blanco, confianza que faltaría enteramente si, en lugar de probar con 1000 extracciones, hubiéramos hecho sólo dos. Ahora bien, como la utilidad cabal de probabilidad es asegurarnos a largo plazo, y como esa seguridad no depende meramente del valor de la posibilidad, sino también de la exactitud de la evaluación, se sigue que no debemos tener el mismo sentimiento de creencia con referencia a todos los eventos cuya posibilidad es del cincuenta por ciento. En resumen, para expresar el estado propio de nuestra creencia, no se requiere un número sino dos, dependiendo el primero de la probabilidad inferida y el segundo de la amplitud de conocimiento en que se basa esa probabilidad3. Es verdad que cuando nuestro conocimiento es muy preciso, cuando hemos efectuado muchas extracciones de la bolsa, o como en la mayoría de los ejemplos de los libros, cuando se sabe perfectamente el contenido total de la bolsa, el número que expresa la incertidumbre de la presunta probabilidad y su riesgo de ser modificada por experiencias posteriores puede volverse insignificante, o desaparecer por completo. Pero, cuando nuestro conocimiento es muy superficial, este número puede ser incluso más importante que la probabilidad misma; y cuando no tenemos conocimiento alguno, este número predomina completamente sobre el otro, de modo que carece de sentido decir que la posibilidad del evento totalmente desconocido es del cincuenta por ciento (pues lo que no expresa ningún hecho en absoluto no tiene absolutamente ningún significado), y lo que debe decirse es que la posibilidad es enteramente indefinida. Percibimos así que la doctrina conceptualista, aunque responde bastante bien en algunos casos, es bastante inadecuada.

Supóngase que la primera judía que sacamos de nuestra bolsa era negra. Esto constituiría un argumento, por muy débil que sea, de que la judía del dedal también era negra. Si la segunda judía saliera también negra, eso sería un segundo argumento independiente que reforzaría al primero. Si las veinte primeras judías extraídas resultaran todas negras, nuestra confianza en que la judía escondida fuese negra alcanzaría con justicia una fuerza considerable. Pero supongamos que la vigésimo primera fuese blanca y que continuáramos sacando judías hasta encontrar que habíamos extraído 1.010 judías negras y 990 blancas. Llegaríamos a la conclusión de que nuestras primeras veinte judías fueran negras era simplemente un accidente extraordinario, y que, en realidad, la proporción de judías blancas con respeto a las negras era sensiblemente igual, y que había un cincuenta por ciento de posibilidades de que la judía oculta fuese negra. Sin embargo, de acuerdo con la regla de sopesar los motivos, puesto que todas las extracciones de judías negras son otros tantos argumentos independientes en favor de que la del dedal sea negra, y todas las extracciones blancas son otros tantos argumentos en contra de ello, un exceso de veinte judías negras debería producir el mismo grado de creencia de que la judía escondida era negra, cualquiera que sea el número total extraído.

En la visión conceptualista de la probabilidad, la ignorancia completa, en la cual el juicio no debe virar hacia la hipótesis ni desviarse de ella, está representada por la probabilidad 1/24.

Pero supongamos que ignoramos totalmente qué color de pelo tienen los habitantes de Saturno. Tomemos entonces una carta cromática en la que aparezcan todos los colores posibles, pasando de uno a otro por grados imperceptibles. En semejante carta, las áreas relativas ocupadas por las diferentes clases de colores son perfectamente arbitrarias. Enmarquemos una de tales áreas con una línea cerrada e indaguemos qué posibilidad hay, según los principios conceptualistas, de que el color del pelo de los habitantes de Saturno caiga dentro de esa área. La respuesta no puede no puede ser indeterminada, porque debemos hallarnos en algún estado de creencia; y, realmente, los escritores conceptualistas no admiten probabilidades indeterminadas. Como no hay certeza sobre la cuestión, la respuesta se encuentra entre cero y la unidad. Y como los datos no proporcionan ningún valor numérico, el número habrá de determinarse por la naturaleza misma de la escala de la probabilidad, y no por cálculo a partir los datos. La respuesta, por lo tanto, sólo puede ser un medio, ya que el juicio ni favorecería ni se opondría a la hipótesis. Lo que es verdad de esta área es verdad de cualquier otra; y será igualmente verdad de una tercera área que abarque a las otras dos. Pero siendo 1/2 la probabilidad de cada una de las áreas menores, la del área mayor debería ser como mínimo la unidad, lo cual es absurdo.

III

Todos nuestros razonamientos son de dos tipos: 1. Explicativos, analíticos o deductivos; 2. Amplificativos, sintéticos, o (hablando en términos generales) inductivos. En el razonamiento explicativo, primero se sientan ciertos hechos en las premisas. Estos hechos son, en cualquier caso, una multitud inagotable, pero a menudo cabe resumirlos en una simple proposición por medio de alguna regularidad que los atraviesa a todos ellos. Así, tomemos la proposición de que Sócrates era un hombre; esto implica (por no ir más lejos) que durante cada fracción de segundo de su vida entera (o, si se prefiere, durante la mayor parte de ellos) fue un hombre. No aparecía en un instante como un árbol y en otro como un perro; no fluía en forma de agua, ni se mostraba en dos lugares a la vez; no era posible pasar un dedo a través de él como si fuese una imagen óptica, etc. Ahora bien, establecidos así los hechos, puede quizá descubrirse algún orden entre algunos de ellos, no utilizado particularmente al enunciarlos; y esto nos permitirá introducir parte de ellos o todos en un nuevo enunciado, cuya posibilidad pudiera haber escapado a nuestra atención. Tal enunciado será la conclusión de una inferencia analítica. De esta clase son todas las demostraciones matemáticas. Pero el razonamiento sintético es de otro tipo. En este caso, los hechos resumidos en la conclusión no se hallan entre los establecidos en las premisas. Son hechos diferentes, como cuando uno ve que la marea sube m veces y concluye que subirá la próxima vez. Estas son las únicas inferencias que aumentan nuestro conocimiento real, por muy útiles que puedan ser las otras.

En todos los problemas de probabilidades, hemos dado la frecuencia relativa de ciertos eventos, y percibimos que en estos hechos se da la frecuencia relativa de otro evento de una manera encubierta. El enunciar esto constituye la solución. Se trata, pues, de un mero razonamiento explicativo, y, evidentemente, es por completo inadecuado para la representación del razonamiento sintético, que va más allá de los hechos dados en las premisas. Hay, por tanto, una imposibilidad manifiesta de rastrear así cualquier probabilidad para una conclusión sintética.

La mayoría de los tratados sobre la probabilidad contienen una doctrina muy diferente. Declaran, por ejemplo, que si uno de los antiguos habitantes de las costas del Mediterráneo, que jamás hubiera oído hablar de las mareas, hubiese ido al golfo de Vizcaya, y hubiese visto allí subir la marea, digamos m veces, podría saber que habría una probabilidad igual a (m + 1) / (m + 2) de que subiera la próxima vez. En una obra muy conocida de Quételet, se insiste mucho sobre esto y se hace de ello el fundamento de una teoría del razonamiento inductivo5.

Pero esta solución delata su origen si la aplicamos al caso del hombre que no haya visto nunca subir la marea; es decir, si suponemos m = 0. En este caso, la probabilidad de que suba la próxima vez resulta 1/2, o, en otras palabras, la solución entraña el principio conceptualista de que hay un cincuenta por ciento de posibilidades para un evento totalmente desconocido. La forma en que se ha alcanzado ha sido la de considerar un gran número de urnas que contienen todas el mismo número de bolas, parte blancas y parte negras. En una urna todas las bolas son blancas, otra, contiene una negra y el resto blancas, la tercera, dos negras y las demás blancas, y así sucesivamente, una urna por cada proporción, hasta llegar a una urna que sólo contiene bolas negras. Pero la única razón posible para establecer una analogía entre tal disposición y la de la Naturaleza es el principio de que las alternativas de las que no sabemos nada deben estimarse como igualmente probables. Pero este principio es absurdo. Hay una variedad indefinida de modos de enumerar las diferentes posibilidades, los cuales, con la aplicación de este principio, darían resultados diferentes. Si hay un modo de enumerar las posibilidades de modo que las haga a todas iguales, no es aquél del que se deriva esta solución, sino que es el siguiente: imaginemos que tuviéramos un inmenso granero lleno de bolas negras y blancas bien mezcladas; e imaginemos que cada urna se llenara tomando, completamente al azar, un número fijo de bolas de este granero. El número relativo de bolas blancas en el granero podría ser cualquiera, digamos una por cada tres. Entonces, en un tercio de las urnas la primera bola sería blanca y en dos tercios negra. En un tercio de las urnas cuya primera bola fuese blanca, y también en un tercio de aquellas en las que la primera bola fuese negra, la segunda bola sería blanca. De esta manera, tendríamos una distribución como la que se indica en la siguiente tabla, en donde b representa una bola blanca y n una bola negra. El lector puede, si le parece, verificar la tabla por sí mismo.

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En el segundo grupo, donde hay una n, hay dos conjuntos exactamente idénticos; en el tercero hay 4, en el cuarto 8, y en el quinto 16, duplicándose cada vez. Esto se debe a que hemos supuesto que en el granero había el doble de bolas negras que blancas; si hubiéramos supuesto que hubiera 10 veces más, en lugar de

1, 2, 4, 8, 16

conjuntos, habríamos tenido

1, 10, 100, 1000, 10000

conjuntos; por otro lado, si el número de bolas negras y blancas del granero hubiera sido igual, sólo habría habido un conjunto en cada grupo. Ahora bien, supongamos que se hubieran sacado dos bolas de una de estas urnas y se encontrara que ambas eran blancas, ¿qué probabilidad habría de que la siguiente bola fuese blanca? Si las dos extraídas fueran las dos primeras metidas en las urnas, y la siguiente que se sacara fuese la tercera introducida, entonces la probabilidad de que esta tercera fuese blanca sería la misma, cualquiera que fuera el color de las dos primeras, porque se ha supuesto que exactamente la misma proporción de urnas tenga la tercera bola blanca entre las que tienen las dos primeras blanca-blanca, blanca-negra, negra-blanca y negra-negra. Así, en este caso, la posibilidad de que la tercera bola fuera blanca sería la misma cualesquiera que fuesen las dos primeras. Pero, al examinar la tabla, el lector puede ver que en cada grupo todos los órdenes de las bolas aparecen con igual frecuencia, de modo que es indiferente si se sacan o no en el orden que fueron introducidas. De ahí que los colores de las bolas ya extraídas no tengan ninguna influencia sobre la probabilidad de que las otras sean blancas o negras.

Ahora bien, si hay algún medio de enumerar las posibilidades de la Naturaleza de suerte que resulten igualmente probables, es claramente una que tendrá que lograr que una disposición o combinación de los elementos de la Naturaleza sea tan probable como otra, es decir, una distribución semejante a la que hemos supuesto, y es obvio, por tanto, que la suposición de que tal cosa puede hacerse, conduce simplemente a la conclusión de que el razonamiento de la experiencia pasada a la futura carece absolutamente de valor. De hecho, desde el momento en que se da por sentado que las posibilidades a favor de algo de lo que somos totalmente ignorantes son de un cincuenta por ciento, el problema acerca de las mareas no difiere, en ninguna particularidad aritmética, del caso en que un penique (sabido que es igualmente probable obtener cara o cruz) salga cara m veces seguidas. En suma, sería admitir que la Naturaleza es un puro caos, o una combinación fortuita de elementos independientes, en la que el razonamiento de un hecho a otro sería imposible; y puesto que, según veremos más adelante, no hay ningún juicio de pura observación sin razonamiento, sería suponer que toda cognición humana es ilusoria y que no es posible ningún conocimiento real. Sería suponer que si hemos encontrado el orden de la Naturaleza más o menos regular en el pasado, esto ha sido por pura racha de suerte, que podemos esperar que ahora haya terminado. Ahora bien, quizá no tengamos ni un ápice de prueba de lo contrario, pero la razón es innecesaria con referencia a esta creencia que es la más firme de todas, de la que nadie duda o puede dudar, y que al ser negada atestiguaría la estupidez de quien lo hiciera.

La probabilidad relativa de esta o de aquella disposición de la Naturaleza es algo de lo que tendríamos derecho a hablar si hubiera tal abundancia de universos como de moras, si pudiéramos meter una cantidad de ellos en una bolsa, agitarlos bien, sacar una muestra, y examinarlos para ver qué proporción de ellos posee una disposición y qué proporción posee otra. Pero, aun en ese caso, un universo superior nos contendría, respecto a cuyas disposiciones la concepción de probabilidad no podría tener aplicabilidad alguna.

IV

Hemos examinado el problema propuesto por los conceptualistas, que traducido en un lenguaje claro, es éste: Dada una conclusión sintética, se requiere averiguar, de todos los posibles estados de cosas, cuántos concordarán, hasta un punto señalado, con la conclusión; y hemos hallado que es sólo un intento absurdo reducir la razón sintética a la analítica, y que no es posible una solución definitiva.

Pero hay otro problema en relación con este tema. Es el siguiente: dado un cierto estado de cosas, se requiere saber qué proporción de todas las inferencias sintéticas relacionadas con él serán verdaderas dentro de un grado fijado de aproximación. Ahora bien, no hay ninguna dificultad en este problema (a excepción de su complicación matemática); ha sido muy estudiado, y la respuesta es perfectamente conocida. ¿Y no es esto, después de todo, lo que queremos saber mucho más que lo otro? ¿Por qué habríamos de desear saber la probabilidad de que el hecho se acomode a nuestra conclusión? Esto implica que estamos interesados en todos los mundos posibles, y no meramente en aquél en que nos encontramos situados. ¿Por qué no va a ser mucho más a propósito conocer la probabilidad de que nuestra conclusión se ajuste al hecho? Uno de estos interrogantes es la primera cuestión enunciada más arriba y el otro la segunda, y pregunto al lector si no es cierto que, si la gente, en lugar de emplear la palabra probabilidad sin una aprehensión clara de su significado, hubiera hablado siempre de frecuencia relativa, no podría podido dejar de ver que lo que quería no era acompañar el procedimiento sintético de otro analítico, con el fin de averiguar la probabilidad de la conclusión; sino, por el contrario, empezar por el hecho al que apunta la inferencia sintética y retroceder hasta los hechos que usa como premisas, con objeto de indagar la probabilidad de que sean tales que produzcan la verdad.

Como no podemos tener una urna con un número infinito de bolas que representen la inagotabilidad de la Naturaleza, supongamos una con un número finito, en la cual toda bola se vuelve a introducir después de ser extraída, para que nunca se agoten. Supongamos que una bola de cada tres es blanca y el resto negras, y que se sacan cuatro bolas. Entonces la tabla de la sección III representa la frecuencia relativa de las distintas maneras como cabría extraer estas bolas. Se verá que si debiéramos juzgar por estas cuatro bolas la proporción de la urna, 32 veces de 81 encontraríamos que es 1/4, y 24 veces de 81 encontraríamos que es 1/2, siendo la verdad 1/3. Ampliar esta tabla a números mayores sería una ardua labor, pero los matemáticos han descubierto ingeniosas maneras de calcular cuáles serían los números. Se sabe que, si la proporción verdadera de bolas blancas es p, y se extraen s bolas, entonces el error de la proporción obtenida mediante la inducción estará:

  • La mitad de las veces dentro de un 0’477 x raíz cuadrada de ([2 p (1-p) / s])
  • 9 de cada 10 dentro de 1’163 x raíz cuadrada de [2 p (1-p) / s]
  • 99 veces cada 100 dentro de 1’821 x raíz cuadrada de [2 p (1-p) / s]
  • 999 veces de cada 1.000 dentro de 2’328 x raíz cuadrada de [2 p (1-p) / s]
  • 9.999 veces de cada 10.000 dentro de 2’751 x raíz cuadrada de [2 p (1-p) / s]
  • 9.999.999.999 veces de cada 10.000.000.000 dentro de 4’77 x raíz cuadrada de [2 p (1-p) / s]

El uso de esto puede ilustrarse con un ejemplo. Según el censo de 1870, parece que la proporción de varones entre los niños blancos nativos, menores de un año, era de 0’5082, mientras que entre los niños de color de la misma edad la proporción era solamente de 0’4977. La diferencia entre ellas es de 0’0105, o sea, alrededor de un 1 por 100. ¿Puede atribuirse esto al azar, o existiría siempre esa diferencia entre un gran número de niños blancos y de color, bajo idénticas circunstancias? Aquí p puede tomarse como 1/2; en consecuencia, 2p(1-p) es también 1/2. El número de niños blancos contados fue cerca de 1.000.000; por lo cual la fracción de la que ha de extraerse la raíz cuadrada es, más o menos, 1/2.000.000. La raíz es aproximadamente 1/1.400, y esto multiplicado por 0’477 da alrededor de 0’0003 como el error probable en la ratio de varones entre los blancos, según se obtiene de la inducción. El número de niños negros fue de unos 150.000, lo que da 0’0008 como error probable. Vemos que la discrepancia efectiva es diez veces la suma de éstos, y tal resultado sucedería, de acuerdo con nuestra tabla, sólo en un caso de cada 10.000.000.000 de censos, a largo plazo.

Puede observarse que cuando el valor real de la probabilidad buscada inductivamente es muy grande o muy pequeño, el razonamiento es más seguro. Así, supongamos que hubiera en la realidad en una bola blanca por cada 100 en cierta urna, y que tuviéramos que juzgar sobre ese número por medio de 100 extracciones. La probabilidad de no sacar ninguna bola blanca sería 366/1.000; la de sacar una bola blanca sería 370/1.000; la de sacar dos sería 185/1.000; la de sacar tres sería 61/1.000, la de sacar cuatro sería 15/1.000; la de sacar cinco sería solamente 3/1.000, etc. Estaríamos así tolerablemente seguros de no incurrir en error en más de una bola de cada 100.

Parece, pues, que en un sentido podemos, y en otro no podemos, determinar la probabilidad de la inferencia sintética. Cuando razono de este modo:

Noventa y nueve cretenses de cada cien son mentirosos;
Pero Epiménides es un cretense;
Por tanto, Epiménides es un mentiroso.

Sé que un razonamiento similar a éste sería verdadero 99 veces de cada 100. Pero cuando razono en la dirección opuesta:

Minos, Saperdón, Radamanto, Deucalión y Epiménides son todos los cretenses que puedo recordar;
Pero éstos fueron todos unos atroces embusteros,
Luego casi todos los cretenses deben haber sido embusteros;

No sé en absoluto cuántas veces tal razonamiento me haría estar en lo cierto. Por otro lado, lo que sí sé es que una proporción definida de cretenses deben haber sido mentirosos, y que es posible aproximarse probablemente a esta proporción por medio de una inducción a partir de cinco o seis ejemplos. Aun en el peor de los casos para la probabilidad de semejante inferencia, aquel en que alrededor de la mitad de los cretenses sean mentirosos, la ratio así obtenida no sería probablemente errónea en más de 1/6. Hasta aquí lo que sé; pero entonces, en el presente caso, la inferencia es que casi todos los cretenses son mentirosos, y no sé si puede no haber una especial improbabilidad en ello.

V

A finales del siglo pasado, Immanuel Kant formuló la siguiente pregunta: "¿Cómo son posibles los juicios sintéticos a priori?"6 Por juicios sintéticos entendía los que aseveran un hecho positivo y no son mero asunto de ordenación; en suma, juicios del tipo que produce el razonamiento sintético y que el razonamiento analítico no puede proporcionar. Por juicios a priori entendía tales como el de que todos los objetos exteriores están en el espacio, que todo evento tiene una causa, etc., proposiciones que según él nunca pueden inferirse de la experiencia. No tanto por su respuesta a esta pregunta como por el simple planteamiento de ella, la filosofía en curso de aquel tiempo quedó arruinada y destruida y comenzó una nueva época en su historia. Pero antes de hacer esa pregunta, debería hecho otra más general: "¿Cómo son posibles los juicios sintéticos en absoluto?" ¿Cómo es que un hombre puede observar un hecho y pronunciar al punto un juicio concerniente a otro hecho diferente no incluido en el primero? Tal razonamiento, como hemos visto, no tiene, al menos en el sentido usual de la frase, una probabilidad definida; ¿cómo, entonces, puede aumentar nuestro conocimiento? Esta es una extraña paradoja; el Abad Gratry dice que es un milagro, y que toda inducción verdadera es una inspiración inmediata de lo alto7. Respeto esta interpretación mucho más que múltiples intentos pedantes de resolver la cuestión por medio de ciertos juegos malabares con las probabilidades, con las formas del silogismo, o con lo que sea. La respeto porque revela una apreciación de la profundidad del problema, porque asigna una causa adecuada, y porque está íntimamente conectada -como ha de estarlo la auténtica explicación- con una filosofía general del universo. Al mismo tiempo, no la acepto porque una explicación debe dar cuenta de cómo se hace una cosa, y afirmar un perpetuo milagro parece ser un abandono de toda esperanza de lograrlo, sin justificación suficiente.

Será interesante ver cómo aparecerá la respuesta que dio Kant a su pregunta sobre los juicios sintéticos a prioria priori si se amplía a la cuestión de los juicios sintéticos en general. Esa respuesta es que los juicios sintéticos son posibles porque todo lo que es universalmente verdadero está implícito en las condiciones de experiencia. Apliquemos esto a un razonamiento sintético general. Yo tomo de una bolsa un puñado de judías; todas ellas son moradas, e infiero que todas las judías de la bolsa son moradas. ¿Cómo puedo hacer esto? Pues bien, según el principio de que todo lo que es universalmente verdadero de mi experiencia (que es aquí la aparición de estas judías diferentes) está implicado en la condición de la experiencia. La condición de esta especial experiencia es que todas esas judías fueron sacadas de esa bolsa. De acuerdo con el principio de Kant, por tanto, todo lo que se declara verdadero de todas las judías extraídas de la bolsa debe encontrar su explicación en alguna peculiaridad del contenido de la bolsa. Es ésta una enunciación satisfactoria del principio de la inducción.

Cuando llegamos a una conclusión deductiva o analítica, nuestra regla de inferencia es que los hechos de cierto carácter general van acompañados, invariablemente o en una determinada proporción de casos, por hechos de otro carácter general. Entonces, siendo nuestra premisa un hecho de la primera clase, inferimos con certeza o con el apropiado grado de probabilidad la existencia de un hecho de la segunda clase. Pero la regla para la inferencia sintética es de un tipo diferente. Cuando extraemos una muestra de una bolsa de judías, no suponemos en absoluto que el hecho de que algunas judías sean moradas entrañe la necesidad, ni siquiera la probabilidad, de que otras judías lo sean. Por el contrario, el método conceptualista de tratar las probabilidades, que en rigor se reduce simplemente a su tratamiento deductivo, conduce cuando se lleva a cabo correctamente al resultado de que una inferencia sintética sólo tiene un cincuenta por ciento de posibilidades a su favor, o, en otras palabras, que carece por completo de valor. El color de una judía es enteramente independiente del de otra. Pero la inferencia sintética se funda en la clasificación de los hechos, no según sus caracteres, sino conforme al modo de obtenerlos. Su regla es que un número de hechos obtenidos de un modo dado se asemejará más o menos, en general, a otros hechos obtenidos del mismo modo; o sea, las experiencias cuyas condiciones son las mismas tendrán los mismos caracteres generales.

En el primer caso, sabemos que las premisas precisamente similares en su forma a las dadas producirán conclusiones verdaderas, sólo una vez en un número calculable de ocasiones. En el segundo caso, sólo sabemos que las premisas obtenidas bajo circunstancias similares a las dadas (aunque quizá en sí muy diferentes) proporcionarán conclusiones verdaderas, al menos una vez en un número calculable de ocasiones. Cabe expresar esto diciendo que en el caso de la inferencia analítica conocemos la probabilidad de nuestra conclusión (si las premisas son verdaderas), pero en el caso de las inferencias sintéticas sólo sabemos el grado de fiabilidad de nuestro procedimiento. Como todo conocimiento proviene de inferencias sintéticas, hemos de inferir igualmente que toda certeza humana consiste meramente en saber que los procesos de los que se ha derivado nuestro conocimiento son tales que generalmente deben haber llevado a conclusiones verdaderas.

Aunque una inferencia sintética no puede reducirse nunca a una deducción, sin embargo, el que la regla de la inducción sea válida a la larga, puede deducirse del principio de que la realidad es únicamente el objeto de la opinión final a la que conduciría una investigación suficiente. Que la creencia tiende gradualmente a fijarse a sí misma bajo la influencia de la indagación es, ciertamente, uno de los hechos con los que la lógica se pone en marcha.

Traducción de Carmen Ruiz

Notas

* (N. del T.) La traducción se ha realizado a partir del texto original que aparece en The Essential Peirce. Selected Philosophical Writings. Vol. I, N. Houser y C. Kloesel (eds.), Indiana University Press, 1992, pp. 156-169, y la he cotejado con la traducción que publicó Juan Martín Ruiz-Werner en Deducción, Inducción e Hipótesis, Aguilar, Argentina, Buenos Aires, 1970, pp.35-63.

** (N. del T.) He traducido la palabra chance, que aparece en muchos lugares en este texto y la palabra possibility, que es también frecuente, indistintamente como "posibilidad".

1. John Venn, The Logic of Chance, Prefacio.(Nota de EP)

2. En el Century Dictionary, Peirce da la siguiente definición de ley: "mientras la fuerza física de la excitación de un nervio aumenta geométricamente, la sensación aumenta aritméticamente, de tal manera que la sensación es proporcional al logaritmo de la excitación... Según Fechner, la sensación total varía directamente con el logaritmo del estímulo dividido por el estímulo justo suficiente para producir una sensación apreciable". Para la refutación experimental de Peirce (y de Joseph Jastrow) de la ley, véase W 5: 122-35.(Nota de EP)

3. Estrictamente, necesitaríamos una serie infinita de números, dependiendo cada uno del error probable del anterior.

4. "La indecisión perfecta, la creencia que no se inclina ni a un lado ni a otro, igual probabilidad". De Morgan [Formal Logic (1847)], p. 182.

5. Adolphe Quételet, Théorie des probabilités, parte 2, cap. 1.(Nota de EP)

6. Kant, Crítica de la razón pura, B19.(Nota de EP)

7. Logique. Lo mismo es cierto, según él, de toda acción de diferenciación, pero no de integración. No nos indica si es la ayuda sobrenatural lo que hace el primer proceso mucho más fácil8.

8. Véase Gratry, Logique, introducción; libro 1, cap. 1; libro 3, cap. 4 y libro 4, cap. 7. (Nota de EP)