Diánoia, vol. 28, n°. 28, 1982
Mauricio Beuchot
Universidad
Nacional Autónoma de México.
En su
opúsculo Positiones logicae de propositionibus (1) el matemático Juan Bernoulli (1667- 1748) expresa algunas
tesis sobre la lógica muy dignas de tenerse en cuenta. Bernoulli pertenece a un
período de la historia de la lógica que todavía requiere ser explorado con
mayor profundidad. Es uno de los pensadores que marcan la transición de la
lógica tradicional a la lógica matemática. Los párrafos de las Positiones
pueden aportarnos bastante luz sobre la concepción que se tenía de la lógica en
esa época. Ciertamente, algunos de esos párrafos solo repiten conocimientos corrientes
en los ámbitos de la escolástica posmedieval y de la lógica renacentista más
moderna; pero hay otros que encierran reflexiones y aún innovaciones notables.
Los cinco
primeros párrafos de las Positiones no hacen más que repetir la teoría
tradicional de la predicación o proposición. Sin embargo, los cuatro
siguientes, del VI al IX, presentan una teoría novedosa sobre la proposición
cuantificada universalmente. En efecto, Bernoulli la divide en esencial y
universal accidental. La esencial es la que predica del sujeto algo que ya está
contenido en su definición, a saber, el género, o la especie, o ambos. La
accidental es aquella en la que la idea del predicado no está contenida en la
idea del sujeto; le predica, pues algo que no está contenido en su esencia, que
no es un constitutivo esencial del sujeto, sino una propiedad o un accidente. Y
Bernoulli llega a decir que, en realidad, las universales esenciales son
puramente verbales, pues constan de meras palabras: sólo hablan de la misma
cosa con diferentes términos y no conducen a nuevos conocimientos.
Si se
quiere, esto no es una innovación extraída a partir de la nada. Ya Tomás de
Vío, el célebre Cayetano, distinguía la predicación en natural o esencial y
artificial o accidental. Aunque -decía- de hecho toda proposición es
artificial, por ser la lógica un instrumento o artificio, se pueden dividir,
relativamente, las proposiciones en esenciales y accidentales. Las accidentales
son las que proporcionan un nuevo conocimiento. Las naturales o esenciales son tautológicas,
porque dicen lo mismo de lo mismo; y, según Boecio (2) son las más ciertas. Pero Cayetano hablaba de la predicación
del individuo sobre sí mismo, como en "Sócrates es Sócrates", (3) mientras que Bernoulli lo amplía al
ámbito de la predicación no individual, sino universal. Y es sumamente
impactante el que las reduzca a meras proposiciones verbales, manifestando una
concepción de la tautología emparentable con la del Positivismo lógico de
Wittgenstein en el Tractatus. (4).
Tal interpretación de los principios o axiomas dista mucho de la
aristotélico-escolástica. Más bien, los escolásticos consideraban esas
proposiciones universales esenciales como las más cognoscitivas, ubicándolas
entre los modi dicendi per se (χαϴ҆αντό) (5), o proposiciones de la manera más propia y científica.
Bernoulli, en cambio, las considera como teniendo un sentido meramente verbal.
Algunos
párrafos (nn. X-XIII) son dedicados por Bernoulli a la teoría tradicional de la
conversión de las proposiciones. Se estipulaban tres tipos de conversión:
simple (cambiando el sujeto en predicado y el predicado en sujeto), accidental
(cambiando además la cantidad) y por contraposición (introduciendo términos
negativos o infinitados). Bernoulli considera que la universal afirmativa no
puede convertirse de modo simple, lo cual obedece a la noción que maneja de la
cuantificación universal; según él, aunque una proposición afirmativa sea
universal, su predicado "no se tomó universalmente, sino sólo según una
parte de su extensión, en la cual conviene al sujeto" (n. X). Con ello
recoge una idea bien conocida por los escolásticos, quienes decían que la
universal afirmativa era universal por virtud del sujeto, no del predicado (6). Y, además, que la universal
afirmativa no es susceptible de conversión simple, sino accidental (7). Igualmente, lo que dice Bernoulli
acerca de que el predicado de la particular negativa es universal-por lo cual
tampoco puede convertirse de manera simple-, corrobora una doctrina que ya era
enseñada, por ejemplo, por Pedro Hispano (8).
Bernoulli
añade (n. XIV) una oposición intermedia entre la contrariedad y la
contradicción, por estar compuesta de ambas. Es en la que resulta de dos
proposiciones singulares, por ejemplo "Guillermo es rey" y
"Guillermo no es rey". Ambas son contrarias, pues difieren sólo en
cualidad y coinciden en cantidad; pero también son contradictorias, dado que
una será verdadera y la otra falsa, lo cual compete sólo a la contradicción.
Tal doctrina parece ser una explicación de observaciones ya hechas por los
escolásticos; por ejemplo, Domingo de Soto dice que puede ser contradictorias
dos singulares y que también pueden ser contrarias sin exigencia y
universalidad (9); pero no se
postulaban estas como constituyendo una oposición especial distinta de la
contradictoria y la contraria, formada por contener características de ambas.
Más
adelante (nn. XV-XVI) aparecen ciertas consideraciones sobre el valor de verdad
de las contrarias y las sub contrarias: "si dos proposiciones contrarias
son ambas falsas, necesariamente las dos sub contrarias serán verdaderas",
y a la inversa. Esta tesis pertenecía ya al acervo de la lógica escolástica,
pues - se decía-las proposiciones universales construyen falsedad, dado que
exigen mucho para ser verdaderas, mientras que sus particulares (sub contrarias
entre sí) construyen verdad, dado que exigen muy poco (que se cumplan en un
solo caso) para ser verdaderas (10).
También lo que dice acerca de si una de las contrarias es verdadera,
necesariamente una de las sub contrarias será verdadera y la otra falsa, es
ratificación de una regla ya conocida.
El párrafo
XVII revitaliza la conversión por contraposición, ciertamente conocida y
utilizada por los escolásticos (11),
pero muy poco y con muchas reservas (12),
llegando algunos a negar su validez (13).
Si se admite esa conversión de proposiciones, se puede simplificar los
silogismos (14). Esto lo aprovecha y
explota Bernoulli para reducir los silogismos. Así, reduce los cuatro modos
directos de la primera figura a sólo dos; los cuatro de la segunda figura a
otros dos, y los seis de la tercera figura tres. Todo ello en base al manejo de
los términos negativos o infinitados (nn. XVIII-XXI). Cosa que no fue
cabalmente desarrollada por los escolásticos, y aparece con la modernidad, como
se puede ver, por ejemplo, en la obra de Leibniz (15).
Un segmento
del opúsculo de Bernoulli está dedicado a reflexiones semántico-pragmáticas de
cierto interés. Además de las oraciones asertivas, tanto simples como
compuestas, Bernoulli señala las que él llama "vagas" a causa
de que no se les puede asignar un valor de verdad. Tales son, por ejemplo, las
interrogativas y las imperativas. Aclara que, "hablando con propiedad,
tales expresiones no son proposiciones, pues la intención del hablante no es
afirmar ni negar algo, y, por eso, consideradas en sí mismas, no son verdaderas
ni falsas" (n. XXIII). Sin embargo, una manera cercana a la de Austin (16), les da una interpretación que
podríamos llamar "per formativa", por oposición a la
"constatativa"-en la que se da verdad o falsedad-, pues no pueden ser
verdaderas ni falsas, pero pueden ser afortunadas o desafortunadas en cuanto al
cumplimiento de la intención del hablante. En otras palabras: "Así, pues,
la operación de la mente que estas expresiones producen en aquel a quien se
profieren es como algo intermedio entre la simple aprehensión y el juicio. Pues
suscitan algo más que una simple aprehensión; porque la mente no se aquieta en
la mera contemplación de las ideas, sino que además se determina a responder o
hacer aquello que se desea. Pero suscitan menos que el juicio, saber, porque la
mente no forma ni la conveniencia ni la discrepancia de las ideas, esto es, ni
afirmación ni negación" (n. XXIV).
Trata
además de una clase de proposiciones que él denomina "indiferentes",
donde en realidad se está expresando con suficiente evidencia el carácter
relacional de la proposición (nn. XXV-XXVI). Es algo que ya estaba precontenido
en la escolástica (17), y que Peter
Geach subraya como un elemento que será muy importante para la lógica de Frege
-habiendo pasado desapercibido para otros lógicos de los siglos XVIII y XIX-,
según la expresión de Bernoulli, en "A algún hombre le acontece ir a
Corinto" el sujeto puede ser "algún hombre", porque de él se
predica correctamente "le acontece ir a Corinto", pero también, bajo
otro respecto, el sujeto puede ser "ir a Corinto", porque de él se
predica con igual corrección "a algún hombre le acontece". Pues bien,
esto corresponde a lo que Geach encuentra como algo que Frege recupera, a
saber, la insistencia en que una proposición como "Pedro golpeó a
Malco" es tanto una predicación sobre Pedro como una predicación distinta
sobre Malco. Aunque en perspectiva diferente, tanto "Pedro" como
"Malco" pueden ser sujetos lógicos de esa proposición, se insertan en
el mismo contenido lógico (18).
Finalmente,
el trabajo de Bernoulli exhibe una marcada atención hacia las difíciles
proposiciones que los escolásticos llamaban "exponibles", i.e. Las
que han de parafrasear en otras proposiciones derivadas de ellas (por
inferencia) para captar plenamente su sentido. Trata primero de las
proposiciones iniciativas y cesativas, a saber, las que llevan
las partículas "incipit" (comienza) o "desinit"
(cesa); y con sobrada razón las examina, pues fueron precisamente estas dos
clases de proposición las que, desde el ángulo de la lógica, influyeron en los
desarrollos de la física efectuados por los escolásticos de la línea
nominalista próximo a Galileo (19).
Pero añade otras que no habían sido suficientemente consideradas o ni siquiera
mencionadas por ellos (nn. XXVII-XXX), como las continuativas, las intermisivas,
las adventivas y las preteritivas. Sobre ellas aclara que son
compuestas en el sentido; pues, afirmando o negando una cosa, al mismo tiempo
afirman no niegan tácitamente otra. Y termina diciendo: "De este modo, hay
muchas proposiciones que, aun cuando son consideradas como simples, se puede
demostrar que son exponibles" (n. XXXI).
Haciendo un
balance de las ideas contenidas en este opúsculo de Juan Bernoulli, podemos
decir que manejaba con soltura los conocimientos lógicos disponibles en su
tiempo; pero, lo que es más importante, se atrevió a dar un uso sumamente
amplio a esos instrumentos que requería para sus construcciones matemáticas. Lo
demuestra, por ejemplo, su noción de la predicación "esencial" o
tautológica, que libremente emplea como "verbal"; asimismo, su
reducción de los modos del silogismo; y, por último, su agudeza al tratar de
las complicadas proposiciones exponibles, muy dispuestas para ser aplicadas a
la física con la nueva perspectiva matemática. Éstos son algunos puntos
notables, entre otros muchos, de la lógica tal como era utilizada por
Bernoulli.
REFERENCIAS
1.Contenido
en Johann Berboulli, Opera Omnia. Lausanne-Genéve; M. M. Bousquet, 1742, vol I
2. A.M.S. Boecio,In Porphyrium Commentaria,
lib. II, PL 64, 92 y lib III, PL 64, 114
3. T. de
Vio, Caietanus, Commentaria in Porphyrii Isagogen ad Praedicamenta
Aristotelis, Ed. I Marega, Roma: I. Angelicum, 1934, pp. 63-64.
4. L. Wittgenstein
, Tractatus lógico-philosophicus. Frankfurt a/M.: Suhrkamp Verlag, 1969, 4. 461 ss.
5.
Aristóteles, Analytica Posteriora, I, 4.
6. D. de
Soto, Summulae, Salmanticae; D. a Portonariis, 1575, f. 22ra-b.
7.Ibid.,
f. 50vb.
8.P.
Hispano,Tractatus sive Summulae Logicales. Ed. L. M. de Rijk, Assen: Van
Gorcum, 1972, p. 8.
9. D de
Soto,op. cit., f. 41ra.
10. T de
Mercado, Comentaria in textum Petri Hispani, Hispali: F. Diaz, 1571, f.
43rb.
11. P.
Hispano, op. cit., p. 8.
12. D. de
Soto, op. cit., f. 51ra; J. de Sto Tomás, Ars Logica, ed. B.
Reiser, Torino; Marietti, 1930, p. 47a-b.
13. T. de
Mercado, op. cit., f. 54ra.
14. D. P. Henry, "Negative Terms and
Buridan's Syllogistic", en J. Pinborg (ed.). The Logic of John Buridan,
Copenhagen: Museum Tusculanum, 1976, pp. 115-120.
15. G. W_ Leibniz, De arte combinatoria, Ed.
Gerhardt, Hildesheim: G. Olms, vol. IV, pp. 46-56.
16 . J. L. Austin, How to Do Things with
Words. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, pp. 4-6 Y14.
17. M.
Beuchot, La jilosojia del lenguaje en la Edad Media. Mexico: Instituto
de Investigaciones Filos6ficas, UNAM, 1981, pp. 90·91.
18. P. T. Geach, Reference and Generality. Ithaca
and London: Cornell University Press, 1970 (Emended Edition. 2d print), pp.
28-29.
19 N. Kretzmann, "Incipitf
Desinit", en P. K. Machamer _ R. G. Turnbull (eds.), Motion and
Time, SPace and Matter. Interrelations in the History of Philosophy and
Science. Columbus: Ohio University Press, 1976, pp. 101-136.
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