El teorema de Bayes y su utilización en la interpretación de las pruebas diagnósticas en el laboratorio clínico
TÉCNICA
Disponible
en: http://www.bvs.sld.cu/revistas/ibi/vol28_3_09/ibi13309.htm
Bayes's theorem and its use in diagnostic
test lectures in clinical laboratory
Dr. C.
Raúl Fernández Regalado
Dpto de
Bioquímica. Instituto de Ciencias Básicas y Preclínicas " Victoria de
Girón". Universidad de Ciencias Médicas de La Habana. Cuba.
RESUMEN
La
finalidad del laboratorio clínico es contribuir al diagnóstico médico
confirmando o rechazando hipótesis por lo que se comprende la importancia de
saber interpretar correctamente las pruebas diagnósticas. El resultado de una
prueba diagnóstica puede permitir en primer lugar clasificar a un individuo como
sano o enfermo. Además permite orientar su tratamiento, aportar información
sobre su pronóstico o contribuir en la aplicación de medidas preventivas.
En el
presente trabajo se propone y fundamente una nueva metodología, utilizando el
teorema de Bayes, para decidir a partir de la prevalencia de la enfermedad y de
los resultados de una prueba de laboratorio de la cual se conoce su
sensibilidad y especificidad, cual es la probabilidad de que un paciente
determinado tenga una enfermedad.
Este
proceder pudiera ser introducido en la práctica, utilizando recursos
informáticos sencillos, para las pruebas de laboratorio y también pudiera ser
utilizado para pruebas diagnósticas de otras especialidades médicas.
Introducción
La
finalidad del laboratorio clínico es contribuir al diagnóstico médico
confirmando o rechazando hipótesis por lo que se comprende la importancia de
saber interpretar correctamente las pruebas diagnósticas. El resultado de una
prueba diagnóstica puede permitir en primer lugar clasificar a un individuo
como sano o enfermo. Además permite orientar su tratamiento, aportar
información sobre su pronóstico o contribuir en la aplicación de medidas
preventivas.
Habitualmente
para las pruebas diagnósticas en el laboratorio clínico se establece un intervalo
de referencia previamente calculado Si los valores encontrados con una prueba diagnóstica
para algún paciente en particular se corresponden con los de un intervalo o
rango obtenido en sujetos normales, el médico concluye : " los valores de
este analito en este paciente son normales". Si por el contrario están
fuera de ese intervalo, el médico concluye que al menos para ese analito aquel
paciente no es normal e incluso pudiera llegar a clasificar al paciente como
portador de determinada enfermedad.1,2,3,4
En el
presente trabajo se propone y fundamenta una nueva metodología, basada en el
teorema de Bayes (5,6) para decidir a partir de la prevalencia de la enfermedad
o una probabilidad a priori establecida y de los resultados de la prueba de
laboratorio , cual es la probabilidad de que un paciente determinado tenga una
enfermedad, lo cual contribuiría a identificar mejor a los pacientes con
posibilidad de estar realmente enfermos.
Metodología
Thomas
Bayes,5 un clérigo del siglo XVIII, desarrolló el siguiente teorema,
que fue conocido después de su muerte, para el cálculo de probabilidades
condicionales:
Sea { A1,
A2, ….Ai….An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y cuya unión es el
total o sea 1, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de
cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades
condicionales P (B/Ai). Entonces la probabilidad P (Ai/B) viene dada por la
expresión:
donde:
P(Ai) son
las probabilidades a priori.
P(B / Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple siempre que: Para todo i= 1....n
P(B / Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple siempre que: Para todo i= 1....n
Este
teorema es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad
aunque sin embargo, ha existido mucha controversia sobre el tipo de probabilidades
que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional también
denominada objetivista o frecuencialista (6) sólo admiten probabilidades
basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica
mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten y defienden la
utilidad de las probabilidades subjetivas. El teorema, que ha resurgido con
gran popularidad desde hace ya algunos años, puede servir entonces para indicar
cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos
información adicional de un experimento. Este enfoque que propugna la
estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones
basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas
estimaciones en función de la evidencia, lo que está abriendo nuevas formas de
hacer conocimiento.
Supóngase
una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de glucosa en sangre, en ayunas, para
diagnosticar la diabetes. Se considera que la prueba es positiva si se
encuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.
Para
evaluar la prueba, para distintos puntos de corte, se somete a la misma a una
serie de individuos diabéticos diagnosticados por otro procedimiento (el patrón
de oro o "gold standar") y a una serie de individuos no diabéticos.
Los resultados se pueden representar en una tabla de doble
entrada.
Si la
prueba fuera perfecta b=c=0, desgraciadamente nunca ocurre. Se denomina
falso-positivo (FP) al cociente c/t, y es una estimación de la probabilidad
condicionada p(+|NE); se denomina falso-negativo (FN) al cociente b/u, y es una
estimación de la probabilidad condicionada p(-|E). Estos dos valores
cuantifican los dos errores que la prueba puede cometer y caracterizan a la
misma. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican los aciertos son la
sensibilidad, p(+|E), y la especificidad p(-|NE).
Cuando la
prueba se usa con fines diagnósticos (o de "screening") interesa
calcular p(E|+) ( o valor Predicitivo Positivo VPP) y/o p(NE|-) ( o Valor
Predicitivo Negativo VPN), que aplicando el teorema de Bayes y considerando los
suceso Enfermedad (E) y No Enfermedad (NE) como una partición de A, tendremos
la siguiente expresión:
Como E y
NE son una partición, es decir sucesos incompatibles, usando el Teorema de
Bayes
Pero de
acuerdo a las definiciones hechas anteriormente es posible entonces expresar
que:
y desde
luego de manera similar se calcularía el VPN a partir de:
Que
también se expresaría como:
Por
ejemplo calculemos el VPP si se tratara de un paciente de 25 años, con dolor
precordial, fumador y con una elevación en suero de una enzima útil en el
diagnóstico de infarto del miocardio, suponiendo un 1 % de prevalencia para
esta edad , y con un 90 % de sensibilidad y especificidad de la prueba un
resultado positivo de la prueba se corresponde con un VPP de 8,3 %.
Sin
embargo una prueba positiva en un paciente adulto de 68 años con dolor
anginoso, fumador, dolor precordial y estimando un 90 % de prevalencia del
infarto para este grupo poblacional, entonces el VPP será de 99 %. Es decir el
paciente de 68 años y el joven de 25 tienen ambos positiva la misma prueba
diagnóstica, sin embargo el de 68 años tiene una probabilidad mas de 10 veces
mayor (99 vs. 8 %) de tener la enfermedad.
Considérese
este otro ejemplo:
Se trata
de una prueba de laboratorio que tiene un 95 % de sensibilidad y 95 % de
especificidad. Pero conocemos a la vez que la prevalencia de la enfermedad en
cuestión es de 5 por cada 1000 individuos en la población adulta. Haciendo uso
de la fórmula (1) para calcular el Valor Predictivo Positivo (VPP):
VPP= 0.95
X 0.005 / 0.95 X 0.005 + 0.05 X 0.995
= 0.00475/0.0545= 0.087
= 0.00475/0.0545= 0.087
Lo cual
significa que en 1000 test positivos que encontremos, sólo 87 corresponderán a
enfermos y el resto serán individuos sanos.
Nótese
que ambos Valores Predictivos (VPP y VPN) dependen de la prevalencia de la
enfermedad. Una prueba diagnóstica que funciona muy bien en la clínica Mayo de
Estados Unidos , puede ser inútil en el Hospital Amejeiras de Cuba si la
prevalencia de la enfermedad es distinta.
El VPP es
un indicador útil pero no tanto para pacientes individuales. Un paciente llega
a la consulta del médico con una determinada enfermedad que tiene una
prevalencia o probabilidad de manifestarse en la población. Pero también llega
con su historia personal, con variados antecedentes que predisponen o no a esa
enfermedad. En un paciente individual , la " prevalencia" de la
enfermedad puede orientar y ser considerada como la probabilidad a priori .
También el médico, en base a un valor de prevalencia en la población en general
pudiera asumir para aquel paciente un valor mayor o menor de probabilidad de
contraer esa enfermedad, teniendo en cuenta su edad, antecedentes, factores
genéticos , etc que conoce con precisión.. Desde luego, existe un componente
subjetivo en todas estas estimaciones. Habitualmente los clínicos han expresado
esta probabilidad a priori como " tengo la impresión de que este paciente
tiene tal enfermedad”. Es cierto que existe un componente subjetivo en la
asignación de una probabilidad a priori, pero nadie discute cuando un profesor
dice de un alumno que conoce bien y sabe que no ha estudiado: " Estoy casi
seguro que Pedro , que ha hecho tan mal curso, va a suspender" .
Por eso
otro indicador útil puede ser el Odd o razón de probabilidades entre tener y no
tener la enfermedad.
También
utilizando el Teorema de Bayes es posible calcular los Odds finales a partir
del conocimiento de la prevalencia de la enfermedad (Odds iniciales) y de la
calidad de la prueba diagnostica según la siguiente demostración sencilla:
ODDS
ANTES= p(E)/p(NE)
ODDS DESPUES= p(E/+)/p (NE/ +)
ODDS DESPUES= p(E/+)/p (NE/ +)
Al
cociente Sensibilidad/( 1- Especificidad) se le conoce como razón de
verosimilitud y para un punto de corte determinado para considerar la prueba
positiva , tiene un valor que se relaciona con la calidad de la prueba
Según la
anterior expresión conociendo o estimando la prevalencia inicial , o
probabilidad previa asignada según la experiencia del médico y la información
que posee acerca de la enfermedad en particular de su paciente , de otros
estudios realizados, etc, es posible asignar un valor de odd inicial, y
conociendo entonces la razón de verosimilitud ( o sea el cociente
sensibilidad/1-especificidad) cuando la prueba da positiva para un punto
determinado, es factible entonces calcular entonces los odd finales.
Véase el
siguiente ejemplo:
- Calcular los odds de que una hepatitis esté presente antes de realizar la ALAT en suero. Suponiendo que existe una probabilidad estimada de 12 % para esta enfermedad en determinada población y esa probabilidad es a la vez la probabilidad a priori para un determinado paciente que llega a la consulta médica. Entonces la probabilidad de no hepatitis será de ( 1-0.12)=0.88. Los odds serán entonces 0.12/0.88=0.14.
- Calcular la razón de verosimilitud de la nueva información de la prueba diagnóstica, en este caso una determinación positiva en un paciente de Alanina Amino Transferasa (ALAT) (para la nueva información se reporta un 95 % de sensibilidad y un 90 % de especificidad). La razón de verosimilitud es 0.95/ 0.10= 9.5
- Calcular los odds después de incorporar nueva información. ( El producto de los pasos 1 y 2. que es 0.14 x 9.5 = 1.33
- Probabilidad= 1.33/2.33= 0.57Convertir los odds en probabilidad (Probabilidad= odds/ 1 + odds).
La
ventaja del análisis Bayesiano al interpretar una prueba diagnóstica, puede
consistir en que el clínico lograría una estimación mejor del riesgo que tiene
un paciente de tener o contraer una enfermedad cuando la prueba le da positiva
y no " andaría tan a ciegas" cuando el resultado de un análisis le
llega a sus manos. .
En lugar
del cálculo anterior son útiles los nomogramas, como el que se muestra a
continuación, que están disponibles en algunos sitios de Internet.
La línea
de la izquierda representa diversos valores de probabilidad previa a la prueba,
la línea del medio corresponde a las diferentes RP (positivas o negativas) que
podrían encontrarse en una prueba, y la línea de la derecha muestra las
probabilidades de tener la enfermedad después del uso de la prueba. El
procedimiento consiste sencillamente en trazar una línea recta entre la
probabilidad previa de cada caso y el RP ( o Razón de verosimilitud) de la
prueba que se está utilizando, y la continuación de esa línea recta hacia la
derecha se cruzará con el valor correspondiente de probabilidad de tener la
enfermedad, después de realizada la prueba diagnóstica. En este nomograma se
puede apreciar, igualmente, que los cambios más significativos en la
probabilidad de la enfermedad ocurren con pruebas que tienen RP mayores de 10 o
menores de 0.1. Las pruebas con RP+ mayor de 10 y las pruebas con RP- menor de
0.1 usualmente son muy útiles para confirmar o descartar, respectivamente, una
enfermedad.
Una
alternativa al uso de estos nomogramas sería desarrollar un programa de
computación sencillo para el cálculo de los odds finales y las probabilidades.
Este tipo
de enfoque basado como se ha explicado en el enfoque estadístico bayesiano
pudiera ser útil tambíén en otras especialices médicas, no relacionadas con el
laboratorio clínico.7,8
CONCLUSIONES
1.- Se
propone una metodología basada en el enfoque estadístico bayesiano para estimar
la probabilidad de enfermedad en un paciente determinado con una prueba
diagnostica de laboratorio positiva, y a partir también del conocimiento de la
prevalencia de la enfermedad, o asignando una probabilidad a priori para un
determinado paciente.
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
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diagnósticos. Aspectos metodológicos. Salud Perinatal PP 1985; 2: 39-43.
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LC. Métodos estadísticos para la investigación epidemiológica. Seminario
internacional de estadísticas en Euskadi. Instituto Vasco de Estadística; 1987.
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Jaimes. Pruebas diagnósticas: uso e interpretación Diagnostic tests: use and
interpretation Acta Med Colomb vol.32 no.1 Bogotá Jan./Mar. 2007
5.
Bacallao Jorge. Aspectos conceptuales y metodológicos en la investigación educacional.
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Medcina Vol XVIII.La Paz, Bolivoia 1997.
6. Silva
LC, Benavides A. El enfoque bayesiano: otra manera de inferir. Gac Sanit 2001;
15: 341 6.
7. Silva
LC. Métodos estadísticos para la investigación epidemiológica. Seminario
internacional de estadísticas en Euskadi. Instituto Vasco de Estadística; 1987.
8. D.E. Shapiro The interpretation of diagnostic tests. New England J.
Medicine Stat Methods Med Res, June 1, 1999; 8(2): 113-34
Aprobado:
20 de junio de 2009
Dr. C.
Raúl Fernández Regalado. Instituto de Ciencias Básicas y Preclínicas " Victoria de
Girón". Universidad de Ciencias Médicas de La Habana. Cuba. Calle 146 No 3102, Cubanacán , Playa, Ciudad
Habana. E mail: raul.fernandez@infomed.sld.cu
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